Enunciado da questão:
No projeto de um brinquedo de um parque de diver
sões, os carros estão presos a braços de comprimento R, que estão ligados por articulações a uma engrenagem girante central que faz o conjunto se mover em torno do eixo vertical com velocidade angular constante
Os carros sobem e descem o trilho conforme a equação (i) abaixo. Obtenha o vetor velocidade quando
Equação (i):
Resolução:
Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar as contas.
Velocidade em coordenadas esféricas:
Da demonstração das equações usando coordenadas esféricas temos a seguinte equação,
Mas das condições da questão, temos que
Substituindo na equação aprendida em sala, temos a equação que será trabalhada e será representada por (ii):
E ainda das condições da questão, podemos tirar as seguintes conclusões:
Agora, vamos separar nossas atenções para cada coordenada:
Da equação (ii), a velocidade nessa coordenada é:
Da equação (ii), a velocidade nessa coordenada é:
Para achar a expressão dessa velocidade, derivaremos a equação (i) lembrando de usar a regra da cadeia e a equação (iv):
Agora, derivando a equação (v):
Pronto, usando as duas últimas equações vistas, temos
Então das equações (i) e (v),
Com isso, concluímos a velocidade:
Da equação (ii), a velocidade nessa coordenada é:
Substituindo a equação (iv) e relação fundamental da trigonometria, e depois usando a equação (viii):
Com isso, podemos montar a equação da velocidade, sabendo a velocidade em cada coordenada, afinal:
Pronto, agora para
Temos que
Com isso, o valor da velocidade nessas condições é
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